Question

（2012•郯城县一模）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AC=2．
（1）求矩形ABCD的周长；
（2）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA，再求出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等求出AB，利用勾股定理列式求出ABC，然后根据矩形的周长列式进行计算即可得解；
（2）连接OE，求出OE的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AC=2，
∴OA=OB=

1

2

×2=1，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
在Rt△ABC中，BC=

AC2-AB2

=

22-12

=

3

，
∴矩形ABCD的周长=AB•BC=1×

3

=

3

；

（2）连接OE，在菱形OBEC中，BC垂直平分OE，
∴OE=AB=1，
菱形OBEC的面积=

1

2

BC•AB=

1

2

×

3

×1=

3

．

点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟记各图形的性质是解题的关键．