Question

已知抛物线y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），（a≠0）．
（1）求证：无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；
（2）若抛物线y=ax²-（3a+1）x+2（a+1）与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，m、n、a均为整数，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点P（n-1，n+1）、Q（0，a），求一次函数的表达式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：（1）依据根的判别式即可判定；
（2）把点A（m，0）、B（n，0）代入抛物线y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），解得关于x的方程的解；再进一步m、n、a为整数，探讨得出a的值，进一步确定m、n的数值，求得P、Q两点坐标，利用待定系数法求得问题即可．

解答：（1）证明：∵△=[-（3a+1）]²-4a×2（a+1）
=a²-2a+1
=（a-1）²≥0
∴无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点．…
（2）解：∵抛物线y=ax²-（3a+1）x+2（a+1）与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，
∴a≠1．
令y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），（a≠0）中y=0，
有：ax²-（3a+1）x+2（a+1）=0．
解得：x=2，x=1+

1

a

．
∵m、n、a均为整数，
∴a=-1，m=0，n=2或m=2，n=0．
∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点P（n-l，n+l）、Q（0，a），
∴当a=-1，n=2时，有P（1，3）、Q（0，-1），
解得：y=4x-1．
当a=-1，n=0时，有P（-1，1）、Q（0，-1），
解得：y=-2x-1．

点评：此题考查二次函数的实际运用，抛物线与x轴交点的问题，以及分类讨论思想的渗透．