Question

已知：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁的切线AC交⊙O₂于点C．直线EF过点B交⊙O₁于点E，交⊙O₂于点F．
（1）若直线EF交弦AC于点K时（如图1）．求证：AE∥CF；
（2）若直线EF交弦AC的延长线于点时（如图2）．求证：DA•DF=DC•DE；
（3）若直线EF交弦AC的反向延长线于点（在图3自作），试判断（1）、（2）中的结论是否成立并证明你的正确判断．

Answer 1

分析：（1）连接AB．根据弦切角定理和圆周角定理的推论，可以证明∠E=∠1=∠F，即可证明结论；
（2）根据弦切角定理、圆内接四边形的性质，证明平行线，再根据相似三角形的判定和性质求解；
（3）正确画出图形后，显然只需构造弦切角所夹的弧所对的圆周角，再结合圆周角定理的推论，即可证明平行，再根据相似三角形的判定和性质，即可证明．

解答：（1）证明：连接AB．

∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵∠F=∠1．
∴∠E=∠F．
∴AE∥CF．

（2）证明：连接AB．
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵A、B、F、C在⊙O₂上，
∴∠2=∠1．
∴∠E=∠2，
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA•DF=DC•DE．

（3）解：（1）（2）中的结论都成立．
证明：如图3．
∵∠C=∠B=∠DAE，
∴AE∥CF．
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA•DF=DC•DE．

点评：连接相交弦是相交两圆中常见的辅助线．综合运用了弦切角定理、圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质以及相似三角形的性质和判定．