Question

如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．
（1）求证：AB与⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵OC为半径，
∴AB与⊙O相切；

（2）解：四边形OECF的形状是菱形，
理由是：
如图，取圆周角∠M，
则∠M+∠ECF=180°，
由圆周角定理得：∠EOF=2∠M，
∵∠ECF=∠EOF，
∴∠ECF=2∠M，
∴3∠M=180°，
∠M=60°，
∴∠EOF=∠ECF=120°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∵OE=OC，
∴△OEC是等边三角形，
∴EC=OE，
同理OF=FC，
即OE=EC=FC=OF，
∴四边形OECF是菱形．
分析：（1）连接OC，根据三线合一得出OC⊥AB，根据切线判定推出即可；
（2）取圆周角∠M，根据圆周角定理和圆内接四边形性质得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等边三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根据菱形判定推出即可．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，菱形判定，等边三角形的性质和判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．