Question

所谓配方法其实就是逆用完全平方公式，即a²±2ab+b²=（a±b）²．该方法在数、式、方程等多方面应用非常广泛，如3+2

2

=12+2

2

+（

2

）²；x²+2x+5=x²+2x+1+4=（x+1）²+4等等．请你用配方法解决以下问题：
（1）解方程：x²=5+2

6

；（不能出现形如

5+2 6

的双重二次根式）
（2）若a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，解关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0；
（3）求证：不论m为何值，解关于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根．

Answer 1

分析：（1）先把5+2

6

变形为（

2

+

3

）²，即可求出x的值；
（2）根据a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，得出（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，即可求出a=1，b=1，c=-5，再代入ax²-bx+c=0即可求出答案；
（3）根据△=（m-1）²-4（m-3）=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，即可得出一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根．

解答：解：（1）x²=5+2

6

，
x²=（

2

+

3

）²，
x=±（

2

+

3

）；

（2）a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，
（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，
从而有a-1=0，2b-2=0，c+5=0，
即a=1，b=1，c=-5，
∵ax²-bx+c=0，
∴x²-x-5=0
∴x=

1± 21

2

；

（3）∵△=（m-1）²-4（m-3）=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，
∴x²+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根．

点评：本题考查了配方法的应用；解题的关键是根据完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²进行配方．