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探索研究:
通过对一次函数、反比例函数的学习.我们积累了一定的经验.下面我们借鉴以往研究函效的经验,探索的数y=x+数学公式(x>0)的图象和性质.
(1)填写下表,画出函数的图象:
x数学公式数学公式数学公式1234
y
(2)观察图象,写出函数两条不同类型的性质:
①________;
②________.
知识运用:
一般函数y=x+数学公式(x>0,a>0)也有类似的结论.请利用上面探究函数性质的方法解决下列问题:
己知一个矩形的面积是4.设矩形的一边长为x.它的周长为y.求y与x的函数关系式,井求出:当x取何值时.矩形的周长最小?最小值是多少?

解:(1)填表如下:
x1234
y2
(函数y=x+的图象如图:

(2)①答:函数两条不同类型的性质是:当0<x<1时,y 随x的增大而减小,当x>1时,y 随x的增大而增大;②当x=1时,函数y=x+(x>0)的最小值是2.
知识运用:∵设矩形的一边长为x.它的周长为y.
∴矩形的另一边为
∵矩形的面积是4,
•x=4
∴y=2x+
=2(x+
=2[(2+-2+2]
=2(-2+4
∴当=时,即x=时,周长有最小值4
分析:(1)把x的值代入解析式计算即可;
(2)根据图象所反映的特点写出即可;
(3)根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,进行配方成y=2(-2+4即可求出答案.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了描点法画函数的图象的方法,二次函数最值的运用.反比例函数的图象性质的运用.
练习册系列答案
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九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程:
(1)实践:他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式.
(2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述拋物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
I.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在拋物线上,顶点A、B落在x轴 上.设矩形ABCD的周长为l求l的最大值.
II•如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述拋物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
I.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在拋物线上,顶点A、B落在x轴 上.设矩形ABCD的周长为l求l的最大值.
II•如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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II.如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q,问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。

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II•如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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