Question

已知一次函数y=-x+7与反比例函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)图象相交于A、B两点，其中A（1，a）、B（b，1）．
（1）求a、b、k的值；
（2）观察图象，直接写出不等式

k

x

+x-7＜0的解集；
（3）若点M（3，0），连接AM、BM，探究∠AMB是否为90°，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,一次函数的应用,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）利用待定系数法把A（1，a）、B（b，1）代入y=-x+7中可得a、b的值，进而得到A、B两点坐标，再利用待定系数法把A点坐标代入反比例函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)中可得k的值；
（2）根据（1）中计算的A、B两点坐标，再结合函数图象可得答案；
（3）根据A、B、M三点坐标计算出AM²、BM²、AB²，再根据勾股定理逆定理可得答案．

解答：解：（1）∵A（1，a）、B（b，1）在y=-x+7的图象上，
∴a=-1+7=6，1=-b+7，
解得：a=6，b=6，
∴A（1，6），B（6，1），
∵反比例函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)图象过A，
∴k=6×1=6；

（2）不等式

k

x

+x-7＜0可变形为

k

x

＜-x+7，
根据图象可得1＜x＜6或x＜0；

（3）∵A（1，6），B（6，1），M（3，0），
∴AM²=2²+6²=40，MB²=3²+1²=10，AB²=5²+5²=50，
∴AM²+BM²=AB²，
∴∠AMB=90°．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，以及勾股定理逆定理，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．