Question

5．如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4，若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，则这样的点P点呢？若存在求出DP的值．

Answer 1

分析 设DP=x，表示出CP=7-x，然后分①AD和BC是对应边，②AD和CP是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：存在；理由如下：
如图所示：设DP=x，则CP=7-x，
①AD和BC是对应边时，△ADP∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{DP}{CP}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{x}{7-x}$，
解得：x=$\frac{7}{3}$；
②AD和CP是对应边时，△ADP∽△PCB，
∴$\frac{AD}{CP}=\frac{DP}{BC}$，
即$\frac{2}{7-x}=\frac{x}{4}$，
整理得：x²-7x+8=0，
解得：x=$\frac{7±\sqrt{17}}{2}$；
综上所述，当DP=$\frac{7}{3}$或=$\frac{7±\sqrt{17}}{2}$时，△PAD和△PBC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法，难点在于分情况讨论．