Question

如图，正方形ABCD的边长为2

15

，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是

8

．

Answer 1

分析：首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得

AD

BF

=

AN

NF

=

DN

BN

=2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积．

解答：解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=2

15

，
∴△BFN∽△DAN，
∴

AD

BF

=

AN

NF

=

DN

BN

，
∵F是BC的中点，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

AD=

15

，
∴AN=2NF，
∴AN=

2

3

AF，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=5

3

，
∴cos∠BAF=

AB

AF

=

2 15

5 3

=

2 5

5

，
∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，
∴AE=BF=

15

，
∵∠DAE=∠ABF=90°，
在△ADE与△BAF中，

AE=BF ∠DAE=∠ AD=BA

ABF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠AED=∠AFB，
∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°．
∴AM=AE•cos∠BAF=

2 5

5

×

15

=2

3

，
∴MN=AN-AM=

2

3

AF-AM=

2

3

×5

3

-2

3

=

4

3

3

，
∴

S△MND

S△AFD

=

MN

AF

=

4

15

．
又∵S_△AFD=

1

2

AD•CD=

1

2

×2

15

×2

15

=30，
∴S_△MND=

4

15

S_△AFD=

4

15

×30=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，掌握三角形面积的求解方法，注意辅助线的作法．