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    阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
    小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
    请回答：
    （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为______；
    （2）求正方形MNPQ的面积．
    （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
    如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为______．

    【答案】分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；
    （2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
    （3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
    解答：解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
    每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，
    则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等
    ∴这个新正方形的边长为a．
    故填空答案为：a．

    （2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
    ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．

    （3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

    由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
    不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
    如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

    在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，
    ∴S△RSF=a•a=a2．
    过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
    则AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
    ∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2．

    ∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，正△ABC的面积为a2，
    ∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
    ∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=（不合题意，舍去）
    ∴x=，即AD的长为．
    故填空答案为：．
    点评：本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•博野县模拟）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

    小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
    请你回答：图2中△BCE的面积等于
    2
    2
    ．
    请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
    如图3，已知△ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．
    （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
    （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
    3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•海淀区二模）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：
    我们定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α （0°＜α＜360°） 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形．如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形．如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．

    小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．
    请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
    如图3，在等边△ABC中，E1、E2、E3分别为AB、BC、CA 的中点，P1、P2，M1、M2，N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点．
    （1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
    （2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为
    a
    7
    a
    7
    ．

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    （2013•北京）阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
    小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
    请回答：
    （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为
    a
    a
    ；
    （2）求正方形MNPQ的面积．
    （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
    如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=
    		3
    3
    ，则AD的长为
    2
    3
    2
    3
    ．

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    （2013•南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CBO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构成一个三角形，在计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
    （I）请你回答：图2中△BCE的面积等于
    2
    2
    ．
    （II）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
    3
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    ．

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    科目：初中数学 来源：2013-2014学年江苏省江阴市顾山九年级上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    阅读下面材料：

    小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

    请回答：

    （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙,不重叠）,则这个新的正方形的边长为__________；

    （2）求正方形MNPQ的面积.

    参考小明思考问题的方法,解决问题：

    如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.

     

     

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