Question

在Rt△ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足∠DFE=90°．若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为________．

Answer 1

5
分析：把三角形ACB绕斜边中点F，旋转180°后，得到一个四边形ACBM为矩形，然后根据对顶角相等，两直线平行，内错角相等和F为AB的中点三个条件证明三角形ADF与三角形BHF全等，得到DF与HF相等，同理证明三角形AFG和三角形EBF全等，得到GF与EF相等，得到四边形DEHG为平行四边形，又DH与GE垂直，得到DEHG为菱形，得到DG与DE相等，根据勾股定理，由AD=3，AG=4，求出DG的长即为DE的长．
解答：解：根据题意把△ACB绕点F旋转180°后，得到△BMA，得到四边形ACBM为矩形，
分别延长EF和DF，与AM交于G，与MB交于交于H，连接DG，GH，HE，DE，
∵∠AFD=∠BFH，AF=FB，∠ADF=∠BHF，
∴△ADF≌△BHF，
∴DF=HF，
同理证明△AFG≌△BFE，得到GF=EF，且DH⊥GE，
∴四边形DEHG为菱形，
∴DE=DG==5．
故答案为：5
点评：此题考查了菱形的判别方法，灵活运用三角形全等的方法解决实际问题，灵活运用勾股定理化简求值，是一道综合题．