Question

如图，在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）由在?ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，易证得AB=CD，∠B=∠D，BE=DF，继而由SAS证得：△ABE≌△CDF；
（2）易证得△ABE是等边三角形，则可得∠B=60°，∠ACE=30°，继而可求得∠BAE的度数，然后由勾股定理求得AC的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF=

1

2

AD，BE=

1

2

BC，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠B=∠D BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：连接AC，
∵在?ABCD中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BE=CE=2，
∴AB=BE，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=EC，AE∥CF，
∴AB=BE=AE，
∴∠B=∠AEB=60°，
∴∠ECF=⊙AEB=60°，
∴∠ACE=

1

2

∠ECF=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACE=90°，
∴AC=

BC2-AB2

=2

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．