Question

若方程x²-3x-1=0的两根也是方程x⁴+ax²+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为

1. A.
   -13
2. B.
   -9
3. C.
   6
4. D.
   0

Answer 1

A
分析：设m是方程x²-3x-1=0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x²-3x-1=0，也满足方程x⁴+ax²+bx+c=0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m²+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x²-3x-1=0的两根也是方程（9+a）x²+（6+b）x+c+1=0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
解答：设m是方程x²-3x-1=0的一个根，则m²-3m-1=0，所以m²=3m+1．
由题意，m也是方程x⁴+ax²+bx+c=0的根，所以m⁴+am²+bm+c=0，
把m²=3m+1代入此式，得（3m+1）²+am²+bm+c=0，整理得（9+a）m²+（6+b）m+c+1=0．
从而可知：方程x²-3x-1=0的两根也是方程（9+a）x²+（6+b）x+c+1=0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（9+a）x²+（6+b）x+c+1=k（x²-3x-1）（其中k为常数），
故，所以b=-3a-33，c=-a-10．
因此，a+b-2c=a+（-3a-33）-2（-a-10）=-13．
故选A．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x²+（6+b）x+c+1=k（x²-3x-1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．