Question

如图，ABCD是矩形，将它沿对角线BD折叠，点C落在点E上，AD与BE相交于点F．
（1）求证：FA=FE；
（2）四边形ABDE是什么特殊的四边形？请加以证明．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AB=CD，
由折叠的性质可得：DE=CD，∠DEF=∠C，
∴∠BAF=∠DEF，AB=ED，
∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△EFD（AAS），
∴FA=FE；

（2）四边形ABDE是等腰梯形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠DBC，
∵∠FBD=∠DBC，
∴∠FDB=∠FBD，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAE=∠FDB，
∴AE∥BD，
∵AB=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AFB≌△EFD，根据全等三角形的对应边相等，即可得FA=FE；
（2）由AD∥BC与∠FBD=∠DBC，可得∠FDB=∠FBD，又由FA=FE，根据等边对等角，可得∠FAE=∠FEA，又由对顶角相等，可得∠FAE=∠FDB，证得AE∥BD，又由AB=DE，则可得四边形ABDE是等腰梯形．
点评：此题考查了矩形的性质，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质等知识．此题综合性很强难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．