Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：∠PCB=∠A；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM²=MN•MC．

Answer 1

证明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A；

（2）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；（3分）

（3）连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴弧AM=弧MB
∴∠BCM=∠ABM（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等），
∴△MBN∽△MCB．
∴BM²=MN•MC．
∴AM²=MN•MC．
分析：（1）利用半径OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可证得结论；
（2）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；等量代换可得MN•MC=BM²=AM²．
点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．是一道综合性的题目，难度中等偏上．