Question

6．在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算：②已知b和N，求a，这是开方运算．现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作：b=log_aN，例如：求log₂8，因为2³=8，所以log₂8=3；又比如∵2^-3=$\frac{1}{8}$，∴log₂$\frac{1}{8}$=-3，…
（1）根据定义计算：
①log₃81=4；②log₁₀1=0；③如果log_x16=4，那么x=2；
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N，∴log_aMN=x+y，即log_aMN=log_aM+log_aN这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）
（3）请你猜想：log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均为正数）

Answer 1

分析 （1）各项根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用对数的运算法则变形即可得到结果；
（3）利用已知的新定义化简即可得到结果．

解答 解：（1）①log₃81=log₃3⁴=4；②log₁₀1=0；③如果log_x16=4，那么x=2；
（2）log_aM₁M₂M_3…M_n=log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；
（3）原式=log_aM-log_aN．
故答案为：（1）①4；②0；③2；（2）log_aM₁+log_aM₂+…+log_aM_n；（3）log_aM-log_aN

点评 此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．