Question

已知直线y=-

3

3

x+

3

交x轴于点A，交y轴于点C，点B在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，且底角等于30°，则点B的坐标为

（-3，0）；（0，3

3

）；（1，0）

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，利用特殊角的三角函数值求出∠CAO的度数，在分当点B在x轴上与点B在y轴上两种情况进行解答即可．

解答：解：∵直线y=-

3

3

x+

3

交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A（3，0），B（0，

3

），
∵OC=

3

，OA=3，
∴tan∠CAO=

OC

OA

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
当点B在x轴上，且BC=AB时（如图1），
∵OC⊥x轴，
∴点O是AB的中点，
∵点A（3，0），
∴B（-3，0）；
当BC=AB时（如图2），设B（a，0），则a²+（

3

）²=（3-a）²，解得a=1，
∴B（1，0）；
当点B在y轴上时（如图3）：
∵∠CAO=30°，∠AOC=90°，
∴∠ACO=60°，
∴∠BCA=180°-∠ACO=180°-60°=120°，
若BC=AC，则∠BAC=

180°-∠ABC

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴此种情况符合题意，
设点B（0，y），则（y-

3

）²=3²+（

3

）²，解得y=3

3

，
∴B（0，3

3

）．
综上所述，符合条件的B点坐标为：（-3，0）；（0，3

3

）；（1，0）．
故答案为：（-3，0）；（0，3

3

）；（1，0）．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．