Question

方程x²-2x+1=0的根为x₁=1，x₂=1，则x₁+x₂=2，x₁•x₂=1．
方程x²+3x-4=0的根为x₁=-4，x₂=1，则x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-4，
方程x²-x-1=0的根为x₁=，x₂=，则x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
（2）利用（1）的结论解决下列问题：
已知α、β是方程x²+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α²）（502+mβ+β²）的值．

Answer 1

解：（1）猜想：若方程x²+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x₁、x₂，则x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．理由如下：
∵方程x²+px+q=0的两实根是x₁=，x₂=，
∴x₁+x₂=+==-p，
x₁•x₂=•==q；

（2）∵α、β是方程x²+（m-2）x+502=0的两根，
∴α²+（m-2）α+502=0，β²+（m-2）β+502=0，
∴α²+mα=2α-502，β²+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α²）（502+mβ+β²）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
分析：（1）观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积得到结论，然后利用求根公式进行证明；
（2）先根据方程根的定义得出α²+（m-2）α+502=0，β²+（m-2）β+502=0，变形之后，再利用（1）的结论求出即可．
点评：本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，实际上考查了根与系数的关系，求根公式及方程的解的定义，难度中等．