Question

如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；

(2)如图2，若∠EAF＝60º，求证：△AEF是等边三角形．

Answer 1

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；

（2）首先连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．

【解答】证明：（1）连接AC，

∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵∠AEF=60°，

∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，

∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C

=180°-30°-120°=30°，

∴∠FEC=∠CFE，

∴EC=CF，

∴BE=DF；

（2）连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°

∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△AFC中，

∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC  

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．

【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．