Question

已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC-CB-BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．
（1）求出该反比例函数解析式．
（2）连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求点Q的坐标．
（3）用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s，并指出相应t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，
∴C的坐标为（4，4），
设反比例解析式为y=，
将C的坐标代入解析式得：k=16，
则反比例解析式为y=；

（2）当Q在DC上时，如图所示：

此时△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4-4t，解得t=，
则DQ=4t=，即Q₁（，4）；
当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示：

若Q在上边，则△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t-4=t，解得t=，
则QB=8-4t=，此时Q₂（4，）；
若Q在下边，则△APD≌△BQA，
则AP=BQ，即8-4t=t，解得t=，
则QB=，即Q₃（4，）；
当Q在AB边上时，如图所示：

此时△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t-8=t，解得t=，
因为0≤t≤，所以舍去．
综上，；；Q₃（4，）；

（3）s₁=8t（0＜t≤1）；s₂=-2t²+2t+8（1≤t≤2）；s₃=-10t+24（2≤t≤）．
分析：（1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标；
（3）分点Q在CD，BC，AB边上，由三角形面积公式和组合图形的面积计算即可求解．
点评：本题考查了正方形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，分类思想，综合性较强，有一定的难度．