Question

锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．

Answer 1

分析：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O．根据S_△ABC=S_△ABO+S_△ACO+S_△BCO、

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

，

OE

BE

=

S△OAC

S△BAC

，

OF

CF

=

S△OAB

S△CAB

可以推知

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1①；然后由OD=R-DM、AM=2R求得

OD

AD

=1-

R

AD

；同理

OE

BE

=1-

R

BE

，

OF

CF

=1-

R

CF

；最后将其代入①式求得

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．

解答：证明：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O，

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

，

OE

BE

=

S△OAC

S△BAC

，

OF

CF

=

S△OAB

S△CAB

，…5’
则

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1…①…10’
而

OD

AD

=

R-DM

2R-DM

=1-

R

2R-DM

=1-

R

AD

，…15’
同理有，

OE

BE

=1-

R

BE

， 

OF

CF

=1-

R

CF

，…20’
代入①得，(1-

R

AD

)+(1-

R

BE

)+(1-

R

CF

)=1…②
所以 

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．                                     …25’

点评：本题考查了面积以及等积变换．解答本题时，通过作辅助线AM，将AD、OD、CO、CF、BO、BE的长度与半径R联系在一起，从而通过化简

OD

AD

+

OE

BE

+

OF

CF

=1，证得结论

1

AD

+

1

BE

+

1

CF

=

2

R

．