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    13．如图，关于y=-x2+bx+c的二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．
    （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
    （2）在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
    （3）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；
    （4）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．

    分析 （1）把A点和C点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；
    （2）易得抛物线的对称轴为直线x=-1，则E（-1，0），如图1，则AE=2，根据平行四边形的性质，利用点平移的坐标规律求G点坐标；
    （3）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，-x2-2x+3），则Q（x，x+3），则可表示出FQ=-x2-3x，根据三角形面积公式得到S△FAC=-$\frac{3}{2}$x2-$\frac{9}{2}$x，然后利用二次函数的性质求解；
    （4）先利用勾股定理计算出AD=2$\sqrt{5}$，设P（-1，t），则PE=PH=|t|，DP=4-t，再证明Rt△DHP∽Rt△DEA，利用相似比得到|t|：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$，然后讨论：当t＞0时，t：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$；当t＜0时，-t：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$，再分别解方程求出t即可得到P点坐标．

    解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}-9-3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
    ∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
    ∴D（-1，4）；
    （2）抛物线的对称轴为直线x=-1，则E（-1，0），如图1，
    ∴AE=2，
    当把C点向右平移2个单位得到G点，则四边形AEGC为平行四边形，此时G（2，3）；
    当把C点向左平移2个单位得到G′点，则四边形AECG′为平行四边形，此时G（-2，3）；
    由于点C向下平移3个单位，向左平移1个单位得到E点，则点A向下平移3个单位，向左平移1个单位得到G″点，则四边形ACEG″为平行四边形，此时G″（-4，-3），
    综上所述，G点坐标为（-2，3）或（2，3）或（-4，-3）；
    （3）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，
    设直线AC的解析式为y=mx+n，
    把A（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n+3}\end{array}\right.$，
    ∴直线AC的解析式为y=x+3，
    设F（x，-x2-2x+3），则Q（x，x+3），
    ∴FQ=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，
    ∴S△FAC=$\frac{1}{2}$•3•FQ=$\frac{3}{2}$•（-x2-3x）=-$\frac{3}{2}$x2-$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{8}$，
    当x=-$\frac{3}{2}$时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
    （4）存在．
    ∵D（-1，4），A（-3，0），E（-1，0），
    ∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
    设P（-1，t），
    则PE=PH=|t|，DP=4-t，
    ∵∠HDP=∠EDA，
    ∴Rt△DHP∽Rt△DEA，
    ∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$，
    当t＞0时，t：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$，解得t=$\sqrt{5}$-1；
    当t＜0时，-t：2=（4-t）：2$\sqrt{5}$，解得t=-$\sqrt{5}$-1，
    综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比表示线段之间的关系．

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    3．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线在半径OC，劣弧$\widehat{CD}$，半径DO上作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（　　）
    A．B．C．D．

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    4．计算：（-1）2-$\sqrt{4}$×（2013-π）0+（$\frac{1}{3}$）-1=2．

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    1．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB等于（　　）
    A．70°B．20°C．140°D．35°

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    8．如图，抛物线F：y=ax2+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t（t＞0）个单位得到直线L2．设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连结AC、BC．
    （1）当a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=1，t=2时，判断△ABC的形状，并说明理由；
    （2）若△ABC为直角三角形，求t的值；（用含a的式子表示）
    （3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，连结A′C，BD，若四边形A′CDB的面积为2$\sqrt{3}$，求a的值．

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    18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点A（O，4），与x轴相交于点B（3，O）、C（1，O），顶点为M．
    （1）求这个抛物线的解析式；
    （2）若抛物线的对称轴与x轴相交于点H，与直线AB相交于点N，求证：四边形MBNC是菱形；
    （3）如图2，若P是以D（-1，O）为圆心，以1为半径的⊙D上一动点，连结PA、PB，求使△PAB面积取得最大值时的点P的坐标．

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    5．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（-1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=$\sqrt{3}$，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．

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    2．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
    （3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

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    3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．
    （1）求证：△ACF∽△DAE；
    （2）若S△AOC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求DE的长；
    （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

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