Question

13．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是$\sqrt{13}$-2≤BE＜3．

Answer 1

分析 由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），作MF⊥AB于F，证△AMF∽△ABC得$\frac{MF}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即可知MF=$\frac{6}{5}$、AF=$\sqrt{A{M}^{2}-M{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}$、BF=$\frac{17}{5}$、BM=$\sqrt{13}$，从而得BE长度的最小值BE′=BM-ME′=$\sqrt{13}$-2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案．

解答 解：如图，

由题意知，∠AEC=90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的$\widehat{CN}$上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM=∠ACB=90°，∠FAM=∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴$\frac{MF}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{MF}{3}=\frac{2}{5}$，得MF=$\frac{6}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{M}^{2}-M{F}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
则BF=AB-AF=$\frac{17}{5}$，
∴BM=$\sqrt{M{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴BE长度的最小值BE′=BM-ME′=$\sqrt{13}$-2，
BE最长时，即E与C重合，
∵BC=3，且点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上，$\sqrt{13}$-2≤BE＜3，
故答案为：$\sqrt{13}$-2≤BE＜3．

点评 本题主要考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点是解题的关键．