Question

如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线CE交直线AB与点．求证：
（1）CF是⊙O的切线；
（2）若ED=

3

2

，tanF=

3

4

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=

3

2

，在Rt△BFE中，利用正切的定义得tanF=

BE

BF

=

3

4

，可计算出BF=2，再利用勾股定理可计算出EF=

5

2

，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．

解答：（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E为BD的中点，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：CE=BE=DE=

3

2

，
在Rt△BFE中，tanF=

BE

BF

=

3

4

，
∴BF=2，
∴EF=

BE2+BF2

=

5

2

，
∴CF=CE+EF=4，
在Rt△OCF中，tanF=

OC

CF

=

3

4

，
∴OC=3，
即⊙O的半径为3．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．