Question

6．在锐角△ABC中，AB=6，BC=11，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA上时，∠CC₁A₁=60°；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为24，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是P₁，求在旋转过程中，线段EP₁长度的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可知：∠A₁C₁B=30°，再由等边对等角得∠BC₁C=30°，则∠CC₁A₁=60°；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁得比例式，证明△ABA₁∽△CBC₁，根据面积比等于相似比的平方求出△CBC₁的面积；
（3）作辅助线，当点P在D处时BP最小，则BP₁最小，EP₁最小；当点P在点C处时，BP最大，则BP₁最大，EP₁最大，代入计算．

解答 解：（1）如图1，由旋转得：∠A₁C₁B=∠C=30°，BC=BC₁，
∴∠C=∠BC₁C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°，
故答案为：60°；
（2）如图2，∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{B{A}_{1}}{B{C}_{1}}$，
∵∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴$\frac{{S}_{△AB{A}_{1}}}{{S}_{△CB{C}_{1}}}$=$（\frac{AB}{AC}）^{2}$=$（\frac{6}{11}）^{2}$=$\frac{36}{121}$，
∵${S}_{△AB{A}_{1}}$=24，
∴${S}_{△CB{C}_{1}}$=$\frac{242}{3}$；
（3）如图4，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=5.5，
以B为圆心，BD为半径画圆交AB于P₁′，BP₁有最小值BP₁′．
∴EP₁的最小值为5.5-3=2.5，
以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于P₁″，BP₁有最大值BP₁″．
此时EP₁的最大值为11+3=14，
∴线段EP₁的最大值与最小值的差为14-2.5=11.5．

点评 本题是三角形旋转的综合题，考查了三角形旋转的性质：旋转前后的两个图形全等；考查了全等三角形和相似三角形的对应边的关系，本题利用两三角形全等的对应边相等，列比例式证明另外两三角形相似，这一证明思路值得借鉴．