Question

如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
分析：由BC∥AM得∠CDA=105°，根据等边三角形的性质得∠CDE=60°，则∠EDA=105°-60°=45°；过C作CG⊥AM，则四边形ABCG为矩形，于是∠DCG=90°-∠BCD=15°，而∠BCE=75°-60°=15°，易证得Rt△CBE≌Rt△CGD，则BC=CG，得到AB=BC；由于AG=BC，而AG≠MD，则CF：FD=BC：MD≠1，不能得到F点是CD的中点，根据等边三角形的性质则不能得到
EF⊥CD；若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到BM=2AB，则BM=2BC，
易得∠BFC=75°，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：FD=BF：MF=1，即可有CF=DF．
解答：解：∵BC∥AM，
∴∠BCD+∠CDA=180°，
∵∠BCD=75°，
∴∠CDA=105°，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDA=105°-60°=45°，所以①正确；
过C作CG⊥AM，如图，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∴∠DCG=90°-∠BCD=15°，
而△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠BCE=75°-60°=15°，
∴Rt△CBE≌Rt△CGD，
∴BC=CG，
∴AB=BC，所以②正确；
∵AG=BC，而AG≠MD，
∴CF：FD=BC：MD≠1，
∴F点不是CD的中点，
∴EF不垂直CD，所以③错误；
若∠AMB=30°，则∠CBF=30°，
∴在Rt△AMB中，BM=2AB，
∴BM=2BC，
∵∠BCD=75°，
∴∠BFC=180°-30°-75°=75°，
∴BF=BC，
∴MF=BF，
而CB∥AM，
∴CF：FD=BF：MF=1，
∴CF=FD，所以④正确．
故选B．
点评：本题考查了直角梯形的性质：有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质．