Question

如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．

Answer 1

分析：（1）利用院内接四边形的性质得到∠DEC=∠B，然后利用等角对等边得到结论．
（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．

解答：.（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠B+∠AED=180°
∵∠DEC+∠AED=180°
∴∠DEC=∠B
∵AB=AC
∴∠C=∠B
∴∠DEC=∠C
∴DE=DC．

（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠A+∠BDE=180°
∵∠EDC+∠BDE=180°
∴∠A=∠EDC，
∵OA=OE
∴∠A=∠OEA，
∵∠OEA=∠CEF
∴∠A=∠CEF
∴∠EDC=∠CEF，
∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°
∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°
即∠DEF+∠DCE=180°，
又∵∠DCG+∠DCE=180°
∴∠DEF=∠DCG，
∵∠EDC旋转得到∠FDG
∴∠EDC=∠FDG
∴∠EDC-∠FDC=∠FDG-∠FDC
即∠EDF=∠CDG，
∵DE=DC
∴△EDF≌△CDG（ASA），
∴DF=DG．

点评：本题考查了圆内接四边形、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，考查的知识点比较多，难度一般．