Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，计算⊙O的半径r．

Answer 1

（1）解：AC与⊙O相切．
其理由是：连接OC．
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO．
∵DC∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠COA
∴∠COA=∠BOA．
在△ACO和△ABO中，
∵，
∴△ACO≌△ABO（SAS），
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB与⊙O相切，
∴∠ABO=90°，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AC．
∴AE与⊙O相切；

（2）答案不唯一
①选a、b、c
∵AC、AB⊙O的切线
∴AC=AB=c．
∵DC∥AO
∴，
∴，
∴，（10分）
②选a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=（参照方法①给分）
分析：（1）AC与⊙O相切．连接OC．只需证明OC⊥AC即可证明AC与⊙O相切；
（2）①选a、b、c．利用切线的性质证得AC=AB=c．然后根据平行线分线段成比例推知，最后将已知线段的长度带入该比例式即可求得⊙O的半径r．
②选a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=（参照方法①给分）．
点评：本题考查了切线的判定与性质．全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．