Question

如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD交小圆于B、C，大圆的弦AF切小圆于E，经过B、E的直线交大圆于M、N．
（1）求证：AE²=BN•EN；
（2）如果AD经过圆心O，且AE=EC，求∠AFC的度数．

Answer 1

解：（1）过O作OP⊥MN交MN与P，
根据垂径定理可知P是MN，BE的中点，即MB=NE，
同理可得AB=CD，
∵AF切小圆于E，
∴AE²=AB•AC．
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴AE²=AB•AC=AB•BD．
又∵AB•BD=BM•BN，MB=NE，
∴AB•BD=BM•BN=EN•BN．
∴AE²=EN•BN．

（2）连接OE，则OE⊥AF，

∴AE=EF；
∵AE=EC，
∴AE=EF=EC，
∴△ACF是直角三角形；
∴∠ACF=90°．
故可得出FC是小圆的切线，
∴FE=FC=AE=EC，即△EFC是等边三角形，
∴∠AFC=60°．
分析：（1）首先过O作OP⊥MN交MN与P，根据垂径定理P是MN，BE的中点，可以得到MB=NE，同理可得AB=CD，再利用切割线定理和相交弦定理就可以得到结论；
（2）如图当AD经过圆心O时，根据AE是圆的切线和垂径定理可以得到AE=EF，而AE=EC；再根据这两个条件可以判断△AFC是直角三角形，从而得到∠AFC的度数．
点评：此题考查了垂径定理，相交弦定理，切割线定理，圆周角定理的推论，综合性比较强．