Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S₁，S₂，S₃．

（1）设AF=x，试用x表示S₁与S₃的乘积S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）设=t，试用t表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S₂²=4S₁S₃．

Answer 1

解：（1）∵S₁=AD•AF=x，S₃=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，
∴（0＜x＜3）。
∴当x= 时，S₁S₃的最大值为。
（2）如图，作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，

∵=t，∴AF=tFB。
∵△DNE∽△DMC ，BM=MC=AD=1，
∴。∴NE=，
∴EF=FN+NE=1+。
（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，∴FB=。∴AF=tFB=。
∴S₁=AD•AF=×=，S₃=BC•FB=×2×=，
S₂=AB•FE=×3×=。
∴S₁S₃=，S₂²=。
∴=4×，即4t²﹣4t+1=0，解得t=。
∴当t=时，S₂²=4S₁S₃。

试题分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可。
（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据=t，可知AF=tFB，再由△DNE∽△DMC 和BM=MC=AD=1可得出，所以NE=，根据EF=FN+NE即可得出结论。
（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根据三角形的面积公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值。