Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2，可得出OC与E点纵坐标的比为3：2，因此C点的坐标为（0，4）．D点坐标为（0，2）．然后可求出直线AD的解析式，进而可求出A点坐标．根据A，C，E三点坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）应该是垂直关系．可根据（1）中得出的抛物线的解析式求出B点的坐标，然后通过证△ABD和△ADO相似即可得出∠ADB=90°，也可利用勾股定理来求证，答案不唯一；
（3）由于以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似，且M、N不重合，而这两个三角形又有一个公共角，因此只有一种情况，即△ANB∽△ABM，可得出AN：AB=AB：AM，由此可求出AN的长，即可求出N点的坐标．
（也可通过证△AEB∽△ABM，得出E，N重合，由此可求出N点的坐标）．

解答：解：（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2及E（2，6），可得C（0，4）．
∴D（0，2）．
由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y=2x+2．
当y=0时，2x+2=0，
解得x=-1．
∴A（-1，0）．
由A（-1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y=-x²+3x+4．

（2）BD⊥AD．
求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA=90°，
即BD⊥AD．

（3）法1：求得M（

2

3

，

10

3

），AM=

5

3

5

．
由△ANB∽△ABM，得

AN

AB

=

AB

AM

，即AB²=AM•AN，
∴5²=

5

3

5

•AN，
解得AN=3

5

．
从而求得N（2，6）．
法2：由OB=OC=4及∠BOC=90°得∠ABC=45°．
由BD⊥AD及BD=DE=2

5

得∠AEB=45°．
∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，
∴N（2，6）．

点评：考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．