Question

（2012•山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：

等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）

依据2：

角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

解答：（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等．
 
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中

∠A=∠B OA=OB ∠AMO=∠BNO

，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON． 

（3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴

AC

DN

=

BC

BN

，
∵AC=BC，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半），
在△MOC和△NOB中

OC=OB ∠1=∠B CM=BN

，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强．