Question

如图，⊙O的直径AB，CD互相垂直，P为  上任意一点，连PC，PA，PD，PB，下列结论：
①∠APC=∠DPE；
 ②∠AED=∠DFA；
③

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．其中正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

Answer 1

分析：根据垂径定理得到弧AC=弧AD，则根据圆周角定理得∠APC=∠DPE；由于弧PC与PB弧不一定相等，根据圆周角定理得∠BAP与∠PDC不一定相等，于是利用三角形内角和定理可判断∠AED与∠DFA不一定相等；连结AC、AD，由于AC=AD，∠CAD=90°，则把△CAP绕点A顺时针旋转90°得到△ADQ，先证明点P、D、Q共线，则判断△APQ为等腰直角三角形，则2PQ=

2

AP，所以PD+PC=

2

AP，利用同样的方法可得到同理可得BP+AP=

2

DP，于是得到

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

．

解答：解：∵⊙O的直径AB，CD互相垂直，
∴弧AC=弧AD，
∴∠APC=∠DPE；所以①正确；
∵P为BC弧上任意一点，
∴弧PC与PB弧不一定相等，
∴∠BAP与∠PDC不一定相等，
∴∠AED与∠DFA不一定相等；所以②错误；
连结AC、AD，由于AC=AD，∠CAD=90°，则把△CAP绕点A顺时针旋转90°得到△ADQ，如图，
∴CP=DQ，AP=AQ，∠ACP=∠ADQ，∠PAQ=90°，∠APC=∠Q，
∵∠ACP+ADP=180°，
∴∠ADP+∠ADQ=180°，
∴点P、D、Q共线，
∵∠APC=

1

2

∠AOC=45°，
∴∠Q=45°，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ=

2

AP，
∴PD+PC=

2

AP，
同理可得BP+AP=

2

DP，
∴

CP+DP

BP+AP

=

AP

DP

，所以③正确．
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质．