Question

14．如图，在菱形ABCD中，设AE⊥BC于点E，cosB=$\frac{4}{5}$，EC=2，P为AB上的一个动点，求PE+PC的最小值．

Answer 1

分析 作E关于AB的对称点F，连接CF交AB于P，则CF的长度即为PE+PC的最小值，解直角三角形得到AB=10，BE=8，AE=6，求得EF=2HE=2×$\frac{AE•BE}{AB}$=$\frac{48}{5}$，然后解直角三角形即可得到结论．

解答 解：作E关于AB的对称点F，连接CF交AB于P，
则CF的长度即为PE+PC的最小值，
∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴设BE=4a，AB=5a，
∵在菱形ABCD中，AB=BC，
∴5a=4a+2，
∴a=2，
∴AB=10，BE=8，
∴AE=6，
设EF交AB于H，
∴EF=2HE=2×$\frac{AE•BE}{AB}$=$\frac{48}{5}$，
∵∠EFG=∠ABC，
∴FG=EF•$\frac{4}{5}$=$\frac{192}{25}$，GE=EF•$\frac{3}{5}$=$\frac{144}{25}$，
∴CG=$\frac{194}{25}$，
∴CF=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}$=10$\sqrt{23}$，
故PE+PC的最小值是10$\sqrt{23}$．

点评 本题考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短．解题的关键是求出FE的长．