Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=125，AD=DC=80，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC、BD的长．

Answer 1

解：假设能分成两个相似的三角形，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
则两个相似三角形有下面两种情况：
（1）△ABD∽△BDC
∴==，
即：==，
解得：BD=100，BC=64．

（2）△ABD∽△CDB，
∴==，
即：==1．
显然≠1，所以不能这样对应相似．
所以只能是：△ABD∽△BDC，
此时BC=64，BD=100．
分析：先假设能分成两个相似的三角形，根据两直线平行，内错角相等，可以找到一对对应顶点，写出两组相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出BC与BD的长，对使对应边的比不等的三角形要舍去．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据梯形的两底平行内错角相等，找到一对对应顶点，因为另两个对应顶点不确定，所以写出两组相似三角形，再用相似三角形的性质进行计算，求出BC与BD的值．