Question

已知直径AB、CD互相垂直，点M是上一动点，连AM、MC、MD．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，求证：为定值．

Answer 1

证明：（1）如图1，连接AC、AD．
∵直径AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴AC=AD=CD．
由托勒密定理得到MC•AD+MA•CD=AC•MD，即MC•CD+MA•CD=CD•MD，
∴MC+MA=MD
∴MD-MC=MA．

（2）如图2，连接BC、BD．
∵直径AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴BC=BD=CD．
由托勒密定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD，即MD+MC=MB，
∴MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）
=AM•MB
=2AM•MB，
∴=2，即为定值．
分析：（1）如图1，连接AC、AD．根据图示知四边形AMCD是圆内接四边形，则由托勒密定理可以求得MC•AD+AM•CD=AC•MD．根据垂径定理、勾股定理易求AC=AD=CD，将其代入可以求得结论；
（2）如图2，连接BC、BD．则四边形MCBD是圆内接四边形，则由托密勒定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD根据垂径定理、勾股定理易求BC=BD=CD，则MD+MC=MB，结合（1）得到MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）=AM•MB=2AM•MB．
点评：本题考查了圆的综合题．其中涉及到了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质．难度较大．