Question

已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：
①S_{四边形ABCD}=

1

2

AB•CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：连接OD、AP，根据切线长定理求出AD=DP，CP=BC，根据面积公式判断①即可；根据直角三角形斜边大于直角边即可判断②；证△DPO和△PON全等证出DP=ON即可判断③，证△DOC是直角三角形，取CD中点Q，证出OQ是半径，证梯形ABCD，推出∠AOQ=90°即可判断④．

解答：解：连接OD、AP，
∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

AB•CD，∴①正确；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②错误；
∵AB是圆的直径，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分线上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正确；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=

1

2

×180°=90°，
∴△CDO的外接圆的直径是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中点Q，连接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正确．
故选C．

点评：本题综合考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，直角梯形，圆周角定理，线段的垂直平分线性质，切线的判定等知识点，本题难度较大，对学生有较高的要求，综合性比较强，培养了学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．