Question

17．抛物线y=-x²+2x+3与x轴分别相交于A，B，过点P（t，0）作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线l：y=x-1于点N．若点M与点N至少有一个点在x轴下方，则t的取值范围是t＜1或t＞3．

Answer 1

分析 先求得抛物线y=-x²+2x+3以及直线l：y=x-1，与x轴的交点坐标，再根据点M与点N至少有一个点在x轴下方，即可得到t的取值范围．

解答 解：如图，∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于点A，B，
∴令y=0，即-x²+2x+3=0．
解得 x₁=-1，x₂=3．
∴点B的坐标为（-1，0），点A的坐标为（3，0），
设直线l：y=x-1与x轴交于D，
令y=0，则x=1，
∴D（1，0），
∵当点P在A，D之间，即1≤t≤3时，点M与点N都不在x轴下方，
∴当t＜1或t＞3时，点M与点N至少有一个点在x轴下方，
故答案为：t＜1或t＞3．

点评 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，画出函数图象，根据抛物线与直线的位置解决问题．