Question

己知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥y轴于C，AD=1，BC=4，tan∠ABC=

2

3

．反比例函数y=

k

x

的图象过顶点A、B．
（1）求k的值；
（2）作BH⊥x轴于H，求五边形ABHOD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的定义，把∠ABC放在直角三角形中，所以作AE⊥BC于点E，由已知可求CD长，即是A、B两点纵坐标的差，据此得方程求k值；
（2）S_{五边形ABHOD}=S_梯形ABCD+S_矩形BHOC．

解答：解：（1）作AE⊥BC于点E，
BE=BC-AD=4-1=3，（1分）
tan∠ABC=

AE

BE

=

2

3

，
∴AE=DC=2，（2分）
设A（-1，y₁）B（-4，y₂），
∴y₁=-k，y2=-

k

4

，
∵y₁-y₂=CD=2，
∴-k-(-

k

4

)=2，（4分）
∴k=-

8

3

；（5分）

（2）∵k=-

8

3

，
∴y=-

8

3x

，
∴当x=-4时，y=-

8

3×(-4)

=

2

3

，
∴BH=

2

3

，（6分）
∴S_{五边形ABHOD}=S_梯形ABCD+S_矩形BHOC=

1

2

×(1+4)×2+4×

2

3

=5+

8

3

=

23

3

（8分）．

点评：此题打破常规，把图形放在第二象限研究问题，需注意点的坐标与线段长度的关系．