已知抛物线y=a.与x轴从左至右依次相交于A.B两点.与y轴相交于点C.经过点A的直线y=-$\sqrt{3}$x+b与抛物线的另一个交点为D．(1)若点D的横坐标为2.求抛物线的函数解析式,的条件下.抛物线上存在点P.使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形.求点P的坐标,的条件下.设点E是线段AD上的一点.连接BE．一动点Q从点B出发.沿线段BE以每秒1个单位的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．已知抛物线y=a（x+3）（x-1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-$\sqrt{3}$x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

分析（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；
（2）待定系数法得到直线AC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，根据已知条件得到①CP⊥AC，得到直线CP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$，根据已知条件得到②AP⊥AC，得到直线AP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，解方程组即可得到结论；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．

解答解：（1）∵y=a（x+3）（x-1），
∴点A的坐标为（-3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+b经过点A，
∴b=-3$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$，
当x=2时，y=-5$\sqrt{3}$，
则点D的坐标为（2，-5$\sqrt{3}$），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2-1）=-5$\sqrt{3}$，
解得，a=-$\sqrt{3}$，
则抛物线的解析式为y=-$\sqrt{3}$（x+3）（x-1）=-$\sqrt{3}$x²-2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；

（2）∵A的坐标为（-3，0），C（0，3$\sqrt{3}$），
∴直线AC的解析式为：y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴CP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m，
把C（0，3$\sqrt{3}$）代入得m=3$\sqrt{3}$，
∴直线CP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}{x}^{2}-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=\frac{32\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴P（-$\frac{5}{3}$，$\frac{32\sqrt{3}}{9}$）；
②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AP⊥AC，
∴设直线CP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+n，
把A（-3，0）代入得n=-$\sqrt{3}$，
∴直线AP的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
解y=-$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}{x}^{2}-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{13\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$（不合题意，舍去），
∴P（3，-2$\sqrt{3}$），
综上所述：点P的坐标为（-$\frac{5}{3}$，$\frac{32\sqrt{3}}{9}$）或（3，-2$\sqrt{3}$）；

（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，

∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE=$\frac{EF}{sin∠EDF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EF，
∴Q的运动时间t=$\frac{BE}{1}$+$\frac{DE}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标（1，-4$\sqrt{3}$）．

点评本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．

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