Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线

（2）解：∵PC=AC，∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°

（3）解：∵点M是半圆O的中点，
∴CM是角平分线，
∴∠BCM=45°
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=AB=2
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=，
∴DM=
∴CM=
∴S_△BCM=
∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面积=
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为
（注：其它解法，请参照给分）
分析：（1）由OA=OC可以得到∠A=∠ACO，而∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，由此得到∠A=∠ACO=∠PCB，又AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°接着可以推出即OC⊥CP，然后就可以证明PC是⊙O的切线；
（2）由PC=AC得到∠A=∠P，接着得到∠A=∠ACO=∠P，而∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°，利用这个等式和已知条件即可取出∠P；
（3）由M是半圆O的中点得到∠BCM=45°，由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，这样可以求出BC的长度，作BD⊥CM于D，利用等腰直角三角形的性质可以分别求出CD，DM，CM，也就可以求出S_△BCM，而∠BOC=2∠A=60°，这样也可以求出弓形BmC的面积，最后就可以求出线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．
点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用，综合性比较强，对于学生的能力要求很高．