Question

如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t．
（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；
（2）若S_△BCD：S_△AOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且∠BMD最大，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式，得到OB为3，由BD=t得OD=3-t．设P（x，-3x+3），作PE⊥AC于E，则OE=x，PE=-3x+3．再由
△COD∽△CEP，对应边的比相等即可求得t关于动点P的横坐标x的函数表达式；
（2）先求的△AOB的面积，再根据S_△BCD：S_△AOB=2：1，求得△BCD的面积，求得BD，由（1）解出x，即得点P的坐标．再由△COD≌△BOA可得CD=AB．
∠OCD=∠ABO．又因为∠CDO=∠BDP，所以∠BPD=∠COD=90°于是CD⊥AB；
（3）设M（x，0），由图可知：分两种情况进行：讨论x＜0和x＞0．当x＜0时，而tan∠BMO=-

3

x

．tan∠DMO=-

1

x

，再在△BOM中，求得tan∠BMD的值，得到tan∠BMD_max=

π

6

，所以M（-

3

，0），根据对称性求得另一点（

3

，0）．

解答：解：（1）如图，∵点A（1，0），B（0，3），

∴直线AB的解析式为：y=-3x+3．
∵OB=3，BD=t，
∴OD=3-t．
设P（x，-3x+3），作PE⊥AC于E，则OE=x，PE=-3x+3．
∵PE∥y轴，
∴△COD∽△CEP．
∴

OD

PE

=

OC

CE

∴

3-t

-3x+3

=

3

x+3

．
∴t=

12x

x+3

(0≤x≤1)；
（2）如图，CD=AB，CD⊥AB．

∵S△AOB=

1

2

×1×3=

3

2

，S_△BCD：S_△AOB=2：1，
∴S_△BCD=3．
∴BD=2．
∴

12x

x+3

=2．解得：x=

3

5

．
∴P(

3

5

 ， 

6

5

)．
∵OD=OA=1，OC=OB=3，∠COD=∠BOA=90°，
∴在△COD和△BOA中，

OC=OB ∠COD=∠BOA OD=OA

∴△COD≌△BOA（SAS）．
∴CD=AB．
∵△COD≌△BOA，
∴∠OCD=∠ABO．
又∵∠CDO=∠BDP，
∴∠BPD=∠COD=90°．
∴CD⊥AB；
（3）设M（x，0）．
①当x＜0时，而tan∠BMO=-

3

x

，tan∠DMO=-

1

x

再△BOM中，tan∠BMD=tan（∠BMO-∠DMO）=

tan∠BMO-tan∠DMO

1+tan∠BMO•tan∠DMO

=

- 3 x + 1 x

1+ 3 x • 1 x

=

-2x

x2+3

=

2

-x+ 3 -x

≤

2

2 (-x)•( 3 -x )

=

1

3

=

3

3

所以tan∠BMDmax=

3

3

?∠BMD_max=

π

6

，此时-x=

3

-x

?x=-

3

，
所以M（-

3

，0）．
②当x＞0时，符合条件的点与M（-

3

，0）关于y轴对称，即M′（

3

，0）．
综上所述，符合条件的点M的坐标是M（-

3

，0）或（

3

，0）．

点评：本题主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定与性质，还用到三角函数的定义与点的坐标，难度较大．