Question

23、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过B、C两点作经过A的直线的垂线，垂足分别为D、E，如图（1）．
（1）判断线段BD、DE、EC是什么关系？予以证明；
（2）如图（2），设O为BC的中点，连接DO、EO，判断DO、EO有什么关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件及互余关系可证△ABD≌△CAE，则BD=AE，AD=CE，由DE=AD-AE，得出线段BD、DE、EC的关系；
（2）过O点作OG⊥AD，垂足为G点，根据O点为BC的中点，证明OG为线段DE的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得出结论．

解答：解：（1）DE=EC-BD．
理由：∵∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，
∴△ABD≌△CAE，BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD-AE=EC-BD；

（2）DO=EO．
理由：如图2，过O点作OG⊥AD，垂足为G点，
∵O点为BC的中点，BD⊥AD，CE⊥AD，
∴G点为DE的中点，即OG为线段DE的垂直平分线，
∴DO=EO．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的判断与性质．关键是灵活运用判定与性质解题．