Question

1．在Rt△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，根据下列已知条件，求这个三角形未知的边和角．（要求画出符合题意的图形）
（1）b=2$\sqrt{3}$，c=4
（2）c=8，∠A=60°
（3）b=7，∠A=45°
（4）a=24，b=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出a，再利用正弦的定义求出∠A的度数，然后利用互余求∠B的度数；
（2）先利用互余求∠B的度数，再利用∠B的正弦求出b，然后利用勾股定理计算出c的值；
（3）先利用互余求∠B的度数，再利用等腰三角形的性质得到a=b=7，然后利用勾股定理计算出c的值；
（4）先利用计算∠A的正切值，这样可求出∠A的度数，再利用互余求∠B的度数，然后利用∠B的正弦求c的值．

解答 解：（1）如图1，
a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°；

（2）如图2，
∠B=90°-∠A=90°-60°=30°；
∵sinB=sin30°=$\frac{b}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$；

（3）如图3，
∠B=90°-∠A=90°-45°=45°，
∴a=b=7，
∴c=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$；

（4）如图4，
∵tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{24}{8\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°；
∴c=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{8\sqrt{3}}{sin30°}$=16$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义．