Question

已知m，n是方程ax²+bx+c=0的两个实数根，设s₁=m+n，s₂=m²+n²，s₃=m³+n³，…，s₁₀₀=m¹⁰⁰+n¹⁰⁰，…，则as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉的值为（　　）

• A、0
• B、1
• C、-1
• D、2011

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据题意得s₂₀₁₁=m²⁰¹¹+n²⁰¹¹，s₂₀₁₀=m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰，s₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹，根据幂的运算得到as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁹（an²+bn+c），再根据方程解得定义得到am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，所以as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=0．

解答：解：∵s₂₀₁₁=m²⁰¹¹+n²⁰¹¹，s₂₀₁₀=m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰，s₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹，
∴as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=a（m²⁰¹¹+n²⁰¹¹）+b（m²⁰¹⁰+n²⁰¹⁰）+c（m²⁰⁰⁹+n²⁰⁰⁹）
=m²⁰⁰⁹（am²+bm+c）+n²⁰⁰⁹（an²+bn+c），
∵m，n是方程ax²+bx+c=0的两个实数根，
∴am²+bm+c=0，an²+bn+c=0，
∴as₂₀₁₁+bs₂₀₁₀+cs₂₀₀₉=m²⁰⁰⁹×0+n²⁰⁰⁹×0=0．
故选A．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了幂的运算和一元二次方程的解的定义．