Question

某县种植了一种无公害蔬菜，为了扩大生产规模，该县决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低，经调查，种植亩数y（亩）、每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间的关系如下表：

x（元） 0 100 200 300 … y（亩） 800 1600 2400 3200 … z（元） 3000 2700 2400 2100 … （1）分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（2）要使全县这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值和此时种植亩数。 （3）在取得最大收益的情况下，为了满足市场需求，用不超过70亩的土地对这种蔬菜进行反季节的种植，为此需修建一些蔬菜大棚，修建大棚要用的支架、塑料膜等材料平均每亩的费用为650元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（亩）的平方成正比例，比例系数为25，这样，修建大棚后的这部分土地每亩的平均收益比没修前增加了2000元，在扣除修建费后总共增加了85000元.，求修建了多少亩蔬菜大棚？（结果精确到个位，参考数据：1.414）

Answer 1

解：（1）由表格知，y与x，z与x均成一次函数关系 设，将（0，800）、（100，1600）代入： 解得： ∴ 设，将（0，3000）、（100，2700）代入： 解得 ∴。 （2） ∴当x=450时取得最大值7260000，y=8×450+800=4400 答：政府每亩补贴450元可获得最大总收益7260000元，此时种植4400亩。 （3）设修建了m亩蔬菜大棚，原来每亩的平均收益为7260000÷4400=1650元 由题意得方程：（1650+2000）m-650m-25m2=85000 解得， ∵0＜m≤70， ∴m≈46 答：修建了46亩蔬菜大棚。