Question

13．如图，点A为函数y=$\frac{9}{x}$（x＞0）的图象上一点，连接OA，交函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 9
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 作辅助线，根据反比例函数关系式得：S_△AOD=$\frac{9}{2}$，S_△BOE=$\frac{1}{2}$，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．

解答 解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，
∴BE∥AD，
∴△BOE∽△AOD，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△AOD}}$=$\frac{O{B}^{2}}{O{A}^{2}}$，
∵OA=AC，
∴OD=DC，
∴S_△AOD=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△AOC，
∵点A为函数y=$\frac{9}{x}$（x＞0）的图象上一点，
∴S_△AOD=$\frac{9}{2}$，
同理得：S_△BOE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△AOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AB}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{2×9}{3}$=6，
故选C．

点评 此题考查了反比例函数的几何意义，属于基础题，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．