Question

如图所示，已知二次函数y=ax²+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过
点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作
PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax²+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|²和|PH|²的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴，
解得a=，b=0，
∴二次函数的解析式为y=x²﹣1，
（2）令y=x²﹣1=0，
解得x=﹣4或x=4，
由图象可知当﹣4＜x＜4时y＜0，
（3）当m=0时，|PO|²=1，|PH|²=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|²=4，|PH|²=4，
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|²=25，|PH|²=25，
由此发现|PO|²=|PH|²，设P点坐标为（m，n），即n=m²﹣1
|OP|=，|PH|²=n²+4n+4=n²+m²，
故对于任意实数m，
|PO|²=|PH|²；
（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，
设P点坐标为（m，n），|OP|=，|OH|=，
|OP|=|OH|，即n²=4，解得n=±2，
当n=﹣2时，n=m²﹣1不符合条件，
故n=2，m=±2时可使△POH为正三角形．