Question

如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=________．

Answer 1

2
分析：根据题得出要使△MNP的周长最小，只要MP+NP最小即可，过N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，连接MF交BD于P，根据正方形性质求出NG=DG=FG，得出N、F关于BD对称，求出MP+NP=MP+PF=MF，得出此时的PN+PM的值最小，得出四边形AMFD是平行四边形，求出MF=AD=2，即可求出MP+NP的值．
解答：
∵DN=AM=AN=1，∠A=90°，
∴由勾股定理求出MN=，
即MN值一定，
∴要使△MNP的周长最小，只要MP+NP最小即可，
过N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，连接MF交BD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NDB=∠FDB=∠ADC=45°，
∴∠DNG=∠DFG=90°-45°=45°，
∴∠DNG=∠NDG，∠DFG=∠FDG，
∴NG=DG=FG，
即N、F关于BD对称，
∴PN=PF，
∴MP+NP=MP+PF=MF，
即此时的PN+PM的值最小，
∵BD⊥NF，NG=FG，
∴DN=DF=1=AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AM∥DF，
∴四边形AMFD是平行四边形，
∴MF=AD=2，
即MP+NP=2，
故答案为：2．
点评：本题考查了正方形性质和轴对称-最短路线问题，题目综合性比较强，但比较典型，是一道比较好的题目，有一定的难度．