Question

如图，平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，点P从O沿OB边向点B移动，点Q从点B沿BC边向点C移动，P，Q同时出发，速度都是1cm/s．
（1）求经过O，B，D三点的抛物线的解析式；
（2）判断P，Q移动几秒时，△PBQ为等腰三角形；
（3）若允许P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，设线PQ与OB，BC，DC围成的图形面积为y（cm²），点P，Q的移动时间为t（s），请写出y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先过点D作DM⊥OB于M，由平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，即可求得点D的坐标，然后设经过O，B，D三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-8），利用待定系数法即可求得经过O，B，D三点的抛物线的解析式；
（2）由平行四边形的性质可得∠PBQ=180°-∠DOB=135°，所以若△PBQ为等腰三角形，则PB=BQ．然后设P，Q移动t秒时，△PBQ为等腰三角形，即可方程：8-t=t，解此方程即可求得答案；
（3）首先根据题意作出图形，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得PH的长，又由y=S_?OBCD-S_△CPQ，即可求得y与t之间的函数关系式，由P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，即可求得t的取值范围．

解答：解：（1）过点D作DM⊥OB于M，
∵平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，
∴OD=BC=6cm，
∴OM=DM=OD•sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∴D（3

2

，3

2

），B（8，0），
设经过O，B，D三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-8），
将D的坐标代入得：3

2

=3

2

a•（3

2

-8），
解得：a=-

8+3 2

46

，
∴y=-

8+3 2

46

x（x-8）；

（2）∵∠PBQ=180°-∠DOB=135°，
∴若△PBQ为等腰三角形，则PB=BQ．
设P，Q移动t秒时，△PBQ为等腰三角形，
∴P点走过的路程为t，Q点走过的路程为t，
∴PB=OB-t=8-t（cm），BQ=tcm．
若PB=BQ，
则8-t=t，
解得：t=4（s）．
∴P，Q移动4秒时，△PBQ为等腰三角形；

（3）如图：过点D作DM⊥OB于M，过点P作PN⊥OB于N，交CD于H，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3

2

cm，
∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，
∴

PH

PN

=

CP

BP

，
由题意得：PC=14-t（cm），PB=t-8（cm），CQ=t-6（cm），
∴

PH

3 2-PH

=

14-t

t-8

，
解得：PH=

2

2

（14-t），
∴y=S_?OBCD-S_△CPQ=8×3

2

-

1

2

（t-6）×

2

2

（14-t）=

2

4

t²-5

2

t+45

2

，
∵P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，
∴8＜t≤14，
∴y与t之间的函数关系式为y=

2

4

t²-5

2

t+45

2

，t的取值范围为8＜t≤14．

点评：此题考查了平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质以及多边形面积的求解方法等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．